まず、\(|x−1|\) と \(|x−5|\) の意味を確認します。

• \(|x−1|\) は「\(x\) と \(1\) の距離」
• \(|x−5|\) は「\(x\) と \(5\) の距離」

したがって、\(|x−1|+|x−5|\) は「\(x\) から \(1\) までの距離」と「\(x\) から \(5\) までの距離」の合計です。

次に、この距離の合計がどれくらい小さくなれるか（最小値）を考えます。

数直線上で、\(1\) と \(5\) の間の距離は \(5−1 = 4\) です。
\(x\) を \(1\) と \(5\) の間に置くと

となるため、距離の合計はちょうど \(4\) になります。

一方、\(x\) を \(1\) と \(5\) の外に置くと、距離の合計は \(4\) より大きくなります。

\(x\) が \(1\) より左にある場合（\(x<1\)）

\[ x \;\text{─}\; 1 \;\text{─}\; 5 \]

となり、「\(1→5\) の距離 \(4\)」に加えて「\(1→x\) の分だけ余分に」増えるので、合計は \(4\) より大きくなります。

\(x\) が \(5\) より右にある場合（\(x>5\)）

\[ 1 \;\text{─}\; 5 \;\text{─}\; x \]

となり、「\(1→5\) の距離 \(4\)」に加えて「\(5→x\) の分だけ余分に」増えるので、合計は \(4\) より大きくなります。

つまり、\(|x−1|+|x−5|\) は、どんな \(x\) に対しても \(4\) より小さくなることはありません。

(1) \(k<4\) のとき

左辺はどんな \(x\) でも \(4\) 以上なので、\(k<4\) には絶対になれません。
したがって解はありません。
→ 0個（解なし）

(2) \(k=4\) のとき

\(1≦x≦5\) のときに左辺はちょうど \(4\) になります。
つまり、\(1≦x≦5\) の区間のどの \(x\) を選んでも等式が成り立ちます。
したがって解は「\(1≦x≦5\) のすべての実数」であり、解の個数は無限個あります。
→ 無限個（\(1≦x≦5\) のすべての実数）

(3) \(k>4\) のとき

左辺を \(k\) にするには、\(x\) を区間の外へ動かす必要があります。
\(x<1\) 側に1つ、\(x>5\) 側に1つ、合計2つの解ができます。
→ 2個

答え：
\(k<4\) のとき：0個（解なし）
\(k=4\) のとき：無限個（\(1 ≦ x ≦ 5\) のすべての実数）
\(k>4\) のとき：2個