この問題は、「この不等式が成り立つ \(x\) が、1つでも存在するためには、\(k\) はどのくらいの大きさでなければならないか」を考える問題です。

まず、\(|x−1|\) と \(|x−3|\) の意味を確認します。

• \(|x−1|\) は「\(x\) と \(1\) の距離」
• \(|x−3|\) は「\(x\) と \(3\) の距離」

したがって、\(|x−1|+|x−3|\) は「\(x\) から \(1\) までの距離」と「\(x\) から \(3\) までの距離」の合計です。

次に、この距離の合計がどれくらい小さくなれるかを考えます。

数直線上で、\(1\) と \(3\) の間の距離は \(3−1 = 2\) です。

\(x\) を \(1\) と \(3\) の間に置くと、

になるため、距離の合計はちょうど \(2\) になります。

一方、\(x\) を \(1\) と \(3\) の外に置くと、

• \(x\) が \(1\) より左にある場合：
  \(x\) ─ 1 ─ 3
• \(x\) が \(3\) より右にある場合：
  1 ─ 3 ─ \(x\)

のようになり、距離の合計は \(2\) より大きくなります。

つまり、\(|x−1|+|x−3|\) は、どんな \(x\) に対しても \(2\) より小さくなることはありません。

ここで、不等式 \(|x−1|+|x−3|≦k\) を考えます。

左辺は最小でも \(2\) なので、\(k\) が \(2\) より小さいと、この不等式を満たす \(x\) は存在しません。

一方、\(k\) が \(2\) 以上であれば、左辺が \(2\) になる \(x\)（例えば \(x = 2\)）があるため、不等式を満たす \(x\) が存在します。

数学で「解をもつ」「解が存在する」と言うときは、条件を満たす \(x\) が、少なくとも \(1\) つあるという意味です。

したがって、この不等式が解をもつための条件は、\(k\) が \(2\) 以上であることです。

答え：\(k≧2\)