1\(|x-1|\) は点 \(x\) と \(1\) との距離、\(|x-3|\) は点 \(x\) と \(3\) との距離を表す。 2よって \(|x-1|+|x-3|\) は、点 \(x\) から \(1\) と \(3\) までの距離の和である。
3数直線上で、\(x\) が \(1\) と \(3\) の間にあるとき、この距離の和は最小となり、その最小値は \(3−1=2\) である。
4したがって \(|x-1|+|x-3|\) は常に \(2\) 以上であり、 5\(|x-1|+|x-3| < 1\) を満たす実数 \(x\) は存在しない。
答え：存在しない
① そもそも「絶対値」とは何か
絶対値 \(|a|\) とは、「数直線でいう、\(0\) から \(a\) までの距離」のことです。たとえば、
- \(|5|＝5\)（\(0\) から右に \(5\) だけ離れている）
- \(|−5|＝5\)（\(0\) から左に \(5\) だけ離れている）
\(a\) が \(0\) に対して右にあるか左にあるかは関係なく「どれだけ離れているか」だけを見る、これが絶対値です。だから絶対値は、
- 必ず \(0\) 以上
- マイナスにならない
という特徴があります。
② \(|x−1|\) や \(|x−3|\) は何を表すか
絶対値は距離なので、\(|x−1|\) は「\(x\) と \(1\) の距離」、\(|x−3|\) は「\(x\) と \(3\) の距離」です。
③ 数直線で考えてみる
\(1\) と \(3\) の間の距離は \(3−1=2\) です。
④ \(x\) を \(1\) と \(3\) の間に置いた場合
このとき、\(|x−1|+|x−3|\) はちょうど \(1\) から \(3\) までの距離になり、\(2\) です。
⑤ \(x\) を \(1\) と \(3\) の外に置いた場合
この場合、距離の合計は \(2\) より大きくなります。
⑥ 結論
したがって \(|x−1|+|x−3|\) は最小でも \(2\)。条件 \(|x−1|+|x−3|<1\) は絶対に満たせないので、解は存在しません。
絶対値は「距離」なので、合計は最小でも \(1\) と \(3\) の距離 \(2\) を下回らない。